教了十五年高中数学，我见过太多孩子在函数上栽跟头。有意思的是，这些孩子有个共同点：一上来就背定义、背性质，背得滚瓜烂熟，可一到做题就懵。为什么？因为他们从来没搞明白函数到底是个什么东西。
函数的本质其实特别朴素，就是’对应关系’四个字。举个例子：你在体检，量身高、称体重，身高和体重就是两个变量，它们之间存在对应关系。函数研究的就是这种关系：给定一个输入，能不能得到唯一的输出。你给个x，通过规则f，出来一个确定的y——这就是函数。把它想通了，再回头看定义就顺了：定义域是’能输入的x的集合’，值域是’能输出的y的集合’，仅此而已。很多孩子问我’老师定义背不下来怎么办’，我从来只让他们想这个体检的例子。
接下来是基本功：基本初等函数。这几种函数必须做到闭着眼能画图。一次函数就是一条直线，k的符号决定它是往上走还是往下走；二次函数是抛物线，顶点、对称轴、开口方向三件套；指数函数和对数函数互为反函数，图像关于y=x对称；幂函数别看长得像，n取1、2、3、-1、二分之一，图像完全不同，每种都要亲手画几遍。我的要求是每个学生准备一个专门的函数图像本，把每种函数在不同参数下的图像画熟练。画图这事儿偷不得懒，画得多了，函数的性质就长在脑子里了。
还有一个几乎所有孩子都容易踩的坑：数形结合只会’画个大概’。函数题拿到手，先老老实实画图，把关键点标出来——零点、交点、对称轴、渐近线。很多压轴题，图画对了，答案就出来了七八成。有的孩子嫌画图麻烦，直接代数硬算，算半天还算错。其实高考里函数题，十道有八道是’图一画就明白’的。
基础打牢之后才是刷题。刷题也有顺序：先把基础题和中档题刷透，正确率稳定在九成以上，再碰难题。我们平台的刷题系统里函数专题的题库就是从基础到压轴分层的，孩子可以按自己的水平选难度，做错的题自动进错题本，隔段时间再回头做一遍。有个学生高一函数月考考了四十多分，按这套路子——先懂本质、再画图像、后分层刷题——高二上学期函数相关的题基本不失分，最后高考数学一百三十多。
函数是整个高中数学的地基，三角函数、导数、数列全都踩在它上面。地基不牢，后面越学越吃力。所以别急着赶进度，把这一步走扎实，后面的路会顺很多。